Modeller gör inte och kan inte avslöja all sanning

De flesta som inte har studerat matematik tror att matematik är en statisk byggnad av sanning. Den vanliga uppfattningen är att matematiska symboler representerar idéer, och det finns logiska regler som kan användas för att skapa nya idéer: så kallade proofs of theorems. Människor ser på teoremen och de idéer de representerar som en bild av världen som är förutsägbar och känd. Det som verkar hindra de flesta från att eftersträva denna djupare kunskap är att det är riktigt svårt. Och verkligen tråkigt, eller hur? 

Under de senaste åren har denna statiska syn på matematik visat sig som ett beroende av modeller. Dessa var faktiska matematiska modeller, som att förutsäga antal infektioner och hur viruset kan sprida sig, och även mer allmänna mentala modeller, som att helt beroende av vetenskapen för att diktera hur vi alla ska bete sig - Ska vi karantän? Ska vi maskera oss? Ska vi hålla oss sex fot ifrån varandra? 

Denna synpunkt håller fast vid idén att den sanning vi söker i grunden dikteras av en naturlig värld som är rationell, mekanistisk och förutsägbar.

Naturligtvis har vi som individer psykologiska begränsningar som hindrar oss från att se sanningen helt objektivt. I sin stjärnbok 12 regler för livet Jordan Peterson diskuterar hur våra uppfattningar alltid är fokuserade och hur vi missar det mesta som världen har att visa oss. Han citerar psykologiska studier för att bevisa sin poäng, och illustrerar hur denna observation är mycket gammal, nämns som maya i de gamla hinduiska vediska texterna. 

Så vi har en psykologisk begränsning som hindrar oss från att se allt i världen, och endast tillåter en snäv, fokuserad syn som delvis drivs av våra önskningar. Detta är lika sant för forskare och beslutsfattare som för människor i andra sysselsättningar. 

Vetenskapens löfte är naturligtvis att komma runt detta problem. Det finns den här metoden, ett sätt att noggrant definiera experiment, så att denna objektiva sanning kan delas med andra och vi kan komma till en gemensam förståelse av världen omkring oss. Vetenskapens höjdpunkt är denna tro på det rationella, att modeller utgör hela grunden för objektiv verklighet. Men även vetenskapen har sina begränsningar i den sanning den kan ge. 

När du gräver djupt i naturvetenskapen kommer du fram till matematik. Visst, detta utgör grunden för logiskt tänkande, och matematiska sanningar är fullständiga. 

Vad de flesta inte vet, om du inte får studera matte på avancerad nivå, är att själva grunden för matematik inte är så stabil som du kanske tror, ​​och att idén om vad som kan eller inte kan bevisas är t så klipp och torka. Matematiska uppenbarelser för nästan ett sekel sedan rubbade den mekanistiska synen på världen.

Före 20-talets början var många av de smartaste matematikerna fokuserade på att förstå dess grunder. För en matematiker är grunden dessa mycket grundläggande element av förståelse som fungerar som byggstenar för allt annat. Från grunderna följer allt annat.

Bertrand Russell, en logiker och filosof från denna tidsperiod, arbetade tillsammans med matematiker-filosofen Alfred North Whitehead för att konstruera matematik från första principer. Tillsammans producerade de ett gigantiskt verk som beskrev hur all matematik kunde genereras från några grundläggande idéer och regler. De tre banden tome, utgiven mellan 1910 och 1913 hette Principia Mathematica.

För att ge dig en uppfattning om det abstrakta i denna strävan börjar den med att börja med en grundläggande sanning om vår mänskliga uppfattning. Den säger att vi i huvudsak vet hur man separerar ett objekt från ett annat, och sedan kan vi börja gruppera dessa objekt.

Så det börjar: den första uppsättningen är ingenting. (Verkligen!) Men Tanken av ingenting är något. Om vi ​​identifierar mängden som innehåller en sak, den intetheten, har vi nu en mängd som är större än ingenting, och det är så vi kan definiera talet 1. Så fortsätter det, med regler definierade för hur man tar sig från en matematisk sak till en annan, logikens regler, bygger upp hela matematikens kända universum. 

På den tiden såg det matematiska samfundet detta som ett fantastiskt framsteg. Debatter rasade om vad det betydde för mänsklig förståelse. Till exempel, om all matematisk sanning kunde genereras med hjälp av grundläggande principer och logiska regler, varför behöver vi då matematiker överhuvudtaget? En dator (när den väl är utvecklad) kan blint gå framåt och skapa nya satser ur ingenting. Om du tror att matematik är naturens språk, då skulle detta ge ett mekanistiskt sätt att avslöja alla naturens mysterier. 

Drömmarna om den grundläggande basen för matematik levde i ett och ett halvt decennium tills de för alltid krossades av en ung tjeckisk matematiker vid namn Kurt Godel. År 1930 producerade Gödel ett bevis som uttryckligen visar det Principia Mathematica var Ofullständig. Kärnan i det han sa är att inombords vilken som helst formellt system:

Det finns saker som är sanna som inte kan bevisas sanna.

Otroligt nog bevisade Gödel detta påstående genom konstruktion. Detta betyder att han faktiskt visade att använda reglerna för Principia Mathematica han kunde skapa ett sådant påstående, ett som var sant, men som inte kunde bevisas sant av reglerna. Hur konstruerade han en sådan sak? 

Han attackerade det övergripande syftet med Principia med en genialisk ny metod inom logik. Till varje sanning associerade han ett nummer, och med varje logisk regel associerade han ett sätt att ta sig från sanningstal till andra sanningstal. Varje steg var också associerat med ett nummer. Sedan, med hjälp av siffrorna mot sig själva, skapade han ett nytt nummer, som måste vara ett sanningsnummer, men som du inte kunde komma till med de andra siffrorna. 

Det var denna rekursiva mekanism, där siffror var både uttalanden och instruktionssteg som inspirerade denna uppenbarelse. Så han fann att det fanns ett antal motsvarande ett påstående som var sant inom ramen för Principia, men som inte kunde bevisas med reglerna för att generera sanningstal. 

Med ett enda slag förstörde Gödel Russells och Whiteheads år av arbete, och mängder av andra logiker som sökte detta Nirvana av grundläggande sanning som skulle bygga upp all matematik, och i förlängningen, vår förståelse av det fysiska universum. 

I huvudsak använde han kraften i logik och siffror mot sig själv. 

Det här är viktigt.

Oavsett vad du gjorde som matematiker, oavsett vilken modell du skapade, oavsett hur noggrant du definierade de grundläggande antagandena och reglerna, kunde du aldrig uppnå en fullständig förståelse av ämnet du försökte studera. 

Gödels verk existerar bara inom matematikens område. Det bevisar inget i det vetenskapliga eller mänskliga riket förutom där dessa korsar matematiken. Men det kan informera verkliga beslut i våra liv. 

Vi har ständigt idéer som presenteras för oss av experterna som visar oss ett sätt att leva och tro. De är alla modeller, förmodligen baserade på rationalitet och logik. Dessa idéer presenteras som ett slut. De presenteras som om det inte finns någon annan sanning. Gödel visade oss att denna mekanistiska syn på naturen inte håller emot logikens mest grundläggande granskning. 

Det finns mänskliga sanningar.

Det finns andliga sanningar.

Det finns djupare sanningar i kosmos som vi inte får förstå.

Var skeptisk närhelst en politiker, eller en myndighet, eller till och med en vän säger till dig att allt är känt, att det finns en modell som definierar sanningen, och att genom att följa modellen kommer framtiden att bli känd. Det finns mysterier bortom mänsklig förståelse som undkommer även människans djupaste logiska resonemang. 

Och det bevisades av en man.